Duas notas prévias:
- Como antigo aluno com razoável facilidade em Matemática, disciplina onde tinha consistentemente as melhores notas ao longo do ano, chocam-me tanto ou mais que na minha área académica de formação as falhas e carências evidentes dos nossos alunos nesta área do conhecimento, em especial nos seus passos mais básicos.
- Por regra evito trazer para o blogue situações concretas do meu quotidiano escolar, por questões de privacidade e decoro. Nos raros casos que o faço procuro que a identidade dos envolvidos esteja protegida. Só que há situações que, pela sua natureza, me sinto quase obrigado a partilhá-las. Este é um desses acasos.
Hoje, na aula de Estudo Acompanhado, a minha colega forneceu aos alunos uma pequena ficha com apenas quatro das questões da prova de aferição para o 6º ano de Matemática deste ano. A turma é em média bastante fraquinha, por isso as questões em causa até foram das mais simples.
Uma delas era a seguinte:
Corrijam-me se eu estiver enganado, mas isto é algo que se resolvia antigamente aí pela 3ª classe, quase que de cabeça em pouco tempo. Se colocarmos cestos de laranjas e maçãs em vez dos cd’s reconhecemos com facilidade o tipo de problema.
Penso eu que é de resolução quase evidente. mesmo para alunos medianos.
Mas acredito que há pessoas que não terão inclinação para as contas. E até aceito que não saibam fazer ou falhem de um modo natural.
Para evitar isso, agora permite-se ou chega-se mesmo a incitar que os alunos em vez de abstraírem o raciocínio matemático, desenvolvam uma abordagem concreta, nomeadamente transformarem o problema em representações gráficas dos objectos.
Foi o que alguns alunos fizeram. Muitos alunos mesmo.
Outros alunos não responderam porque, disseram depois, não sabiam desenhar as caixas dos cd’s.
Entre as fichas que ajudei a recolher reparei que boa parte dos resultados certos se ficaram a dever aos alunos que indicaram as operações matemáticas envolvidas.
Muitos dos resultados errados ficaram a dever-se a quem começou a transformar este singelo “problema” numa sequência de desenhos de cd’s e caixas de cd’s.
Num dos casos foram desenhadas 85 caixas-miniatura e esse foi o resultado apresentado como bom. Em outro caso – de uma aluna até um pouco acima da média no contexto da turma – foi apresentada a solução de 200 caixas, embora com o bónus de as não ter tentado desenhar, mesmo se foi feito um esquema explicativo (?). Numa outra questão, completamente diversa (e em que o resultado certo era 90), o resultado dado também foi de 200.
Eu sei que posso estar a ceder à caricatura , que posso parecer falsamente saudosista (eu bem sei que muitos colegas meus também já tinham uma mortífera aversão às matemáticas e outras coisas objectivas) ou mesmo que posso parecer catastrofista.
Mas não me importo.
Porque isto é calamitoso e é o resultado de uma progressiva imbecilização das metodologias de abordagem aos conteúdos da Matemática, reduzidos a questões meramente concretas de onde parece querer afastar-se qualquer tipo de abstracção.
E agora ainda querem «generalizar» mais o ensino correspondente aos actuais dois primeiros ciclos do Ensino Básico.
Os custos vão ser imensos e não haverá nova tecnologia que sirva como exemplo salvador para um raciocínio matemático que não se ensinou desde os primeiros passos.

Junho 6, 2008 at 9:49 pm
É uma tragicomedia. Muito mais trágica que comédia.
Junho 6, 2008 at 9:50 pm
Quando alunos do 8º ano não sabem quantos dias tem um ano (nem por aproximação…) e dão vários erros a copiar uma simples frase para o quadro já nada me espanta.
Mas o que verdadeiramente me preocupa é que a tendência parece ser para piorar.
Junho 6, 2008 at 10:09 pm
Mas há notícias de que o Plano Nacional de Matemática tem dado EXCELENTES resultados…
Junho 6, 2008 at 10:11 pm
Até à minha quarta classe a Matemática era Artes de Merceeiro (tantas grades, tantos centilitros cada, etc). Só na sétima classe (3º ano do Liceu), precisamente com a introdução da Álgebra, essa ideia se foi diluindo.
Junho 6, 2008 at 10:28 pm
Às vezes dá-me para isto. Exagerando um pouco (ou talvez não) perguntei um dia, há muitos anos, numa acção de formação, porque raio para ensinar a soma de dois mais dois é necessário introduzir na sala dois elefantes e duas girafas. Isto se os meninos gostarem destes animais! Se não levam-se outros. E dei como exemplo que quatro traços no quadro, dois a dois poderia ser o bastante. É claro que pretendi ridicularizar certos métodos e que se calhar nunca ninguém levou aqueles animais para a aula. Mas acredito que já tenha havido visitas de estudo ao Jardim Zoológico por razões idênticas!
Junho 6, 2008 at 10:32 pm
“Entre as fichas que ajudei a recolher reparei que boa parte dos resultados certos se ficaram a dever aos alunos que indicaram as operações matemáticas envolvidas.
Muitos dos resultados errados ficaram a dever-se a quem começou a transformar este singelo “problema” numa sequência de desenhos de cd’s e caixas de cd’s.”
Parece-me que o que o autor deste blog teve oportunidade de observar está de acordo com um relatório americano mencionado por mim, transcrevendo o que escrevi em
http://problemasteoremas.wordpress.com/2008/04/25/matematica-metodo-abstracto-ou-concreto-o-que-e-preferivel/
por ser curto:
Nesta entrada do blogue, em inglês, I Wish I Was a Scientist, que acabei de ler, o autor refere um artigo do “The New York Times”, que fui ver. Nele dá-se conta da existência de uma investigação da Ohio State University que sugere que, em determinadas condições, é preferível aprender Matemática de uma forma mais abstracta do que concreta.
É um tema que me interessa e sobre o qual procurarei ver o seu desenvolvimento.
Adenda de 28-4-2008:
“Veja, em http://www.sciencemag.org/cgi/data/320/5875/454/DC1/1, o ficheiro em formato pdf, de Jennifer A. Kaminsky, Vladimir M. Sloutsky, Andrew F. Heckler, com o título “Supporting Online Material for The Advantages of Abstract Examples in Learning Math”, publicado em 25 Abril de 2008, na Science 320, 454 (2008).
Adenda de 5-5-2008: veja, sobre este assunto, a crónica de Nuno Crato “Passeio Aleatório” de 3-5-2008, no Expresso.”
Junho 6, 2008 at 10:38 pm
Claro que as aspas deveriam ter começado em “Nesta entrada …
Junho 6, 2008 at 10:44 pm
Pois é caros colegas, professores de matemática ou de outras coisas, ensinamos conceitos básicos de matemática recorrendo a situações da pseudo vida real, evitando ao mesmo tempo qualquer sugestão de que queremos ajudar os miolos dos nossos alunos a funcionar com alguma agilidade… Quanto aos “excelentes resultados” do Plano de Acção para a Matemática, se os há, têm saído do esforço dos professores e dos alunos. A ajuda dos nossos “queridissímos” patrões não é a que nos foi prometida há dois anos atrás, em de perto em de longe.
Junho 6, 2008 at 10:54 pm
Não é Matemática, é Lígua Portuguesa: um CD (sigla), dois CD.
Quanto à Matemática, aprendi hoje, numa aula de substituição, a “técnica da cruzeta” para somar fracções…
Junho 6, 2008 at 11:01 pm
Adorei a da técnica da cruzeta…eu cá em casa vou mais pelos cabides e portefólios, perdão porta-coisas individuais.
Isto está a tornar-se mesmo esquizofrénico…FÉRIIIIIIIIIIIIIIAS!
Eu, nas aulas de substituição, vou passear com os alunos para os espaços verdes da minha escola… e se tiver um solão como hoje,melhor; qualquer dia os piquenos ficam discalcificados/desclassificados…
Junho 6, 2008 at 11:03 pm
Paulo tem razão em qualificar isto de imbecilização. Parece-me até insultuoso para a idade dos alunos…se calhar por coisas destas é que há tempos uma associação de imigrantes de leste resolveu fundar uma escola para ensinar as suas crianças “a sério”.
Há umas semanas Nuno Crato, no Expresso abordou esta questão do ensino da Matemática, chegar às generalizações por casos concretos (estar sempre a descobrir a roda), ou partir das generalizações, das fórmulas, para resolver os problemas. Parece que ambos os métodos de ensino podem dar bons resultados quando bem aplicados, com alguma vantagem para o segundo, o “tradicional”.
Junho 6, 2008 at 11:07 pm
O que referi em (11), creio que vem no seguimento do que Américo Tavares referiu em (6).
Junho 6, 2008 at 11:19 pm
Uma resposta/solução resolvida por cálculo abstracto poderá exigir alguns “k” de “ram” (memória de acesso aleatório); utilizando imagens, vídeos, etc.. a máquina fica muito mais pesada, não há processador que aguente.
O que se comenta aqui é a destruição do raciocínio perante a utilização de imagens, estáticas ou animadas, quando se procuram soluções. Faz lembrar os ppt e os pps, assim como a utilização de calculadoras gráficas.
A coisa está feia para a matemática.
Junho 6, 2008 at 11:24 pm
Ai essa articulação vertical!!!
Junho 6, 2008 at 11:32 pm
Pior é se alguns formadores esPAMpanantes têm de desenhar as caixas para resolver o problema…
Quando 9 + 25 são 115, resolvidinho com algoritmo mal arranjado e sem que o resultado ofereça qualquer dúvida…
A coisa está feia, está.
Junho 6, 2008 at 11:34 pm
Ora, isso é porque antes se sabia porque é que 2 é igual a 1.
a=1
b=1
a=b
a2=ab
a2-b2=ab-b2
(a+b)(a-b)=a(a-b)
(a+b)(a-b)/(a-b)=a(a-b)/(a-b)
a+b=a
1+1=1
2=1
e não falamos de fractais.
Junho 6, 2008 at 11:37 pm
Ou sejA..
Uma eternidade não seria tempo suficiente para conseguirmos observar todo este fractal, com os seu discos enfeitados com extremidades espinhosas, as suas espirais e filamentos enrolando-se em todas as direcções, exibindo volumosas moléculas infinitamente variadas.
Se examinarmos a côr do conjunto de Mandelbrot através da janela ajustável dum écran de computador, vemos que é muito rica a sua complicação ao longos das diversas escalas. Uma catalogação das diferentes imagens no seu interior ou uma descrição numérica no seu contorno iria exigir uma quantidade infinita de informação.
O conjunto de Mandelbrot é obtido quando submetemos os números complexos (números do tipo a + ib, em que, a e b são números reais e i é a constante imaginária) a um processo iterativo.
Ao aplicar este processo repetidamente, obtemos uma sequência de números un, cuja distância ao 0 (ou seja, o módulo |un|) se mantém finita ou tende para infinito.
É esta fronteira, entre o finito e o infinito que delimita o conjunto de Mandelbrot.
Como se constrói o Conjunto de Mandelbrot?
Para responder a esta pergunta, basta explicar como se atribui a cor a um número complexo a + ib qualquer, que vai ser desenhado como um ponto (a, b) no plano.
Vamos denotar por z o número anterior (a + ib).
Submete-se o número z ao seguinte processo iterativo:
em que w é um número complexo constante.
Observando o comportamento de zn+1, ou seja, do seu módulo |zn+1|, temos as seguintes possibilidades:
|zn| se mantém sempre finito – Atribui-se a cor preta a z.
|zn| tende para infinito – Atribuiem-se diferentes cores a z, dependendo do comportamento de |zn|. A classificação é definida por quem desenha o fractal.
Um ponto é marcado neste fractal não quando satisfaz a equação, mas sim segundo um certo tipo de comportamento. Um comportamento possível pode ser um estado estacionário; outro pode ser a convergência para uma repetição periódica de estados; e outro ainda pode ser um corrida descontrolada para o infinito.
Este comportamento de convergência para uma repetição periódica de estados é passível de ser observada e, depois, todos nos podemos interrogar se o resultado é infinito ou não.
Este comportamento assemelha-se ao processo de feedback no mundo do dia-a-dia. Pode imaginar-se que estamos a montar um microfone, amplificador e colunas de som num auditório – estamos preocupados com o ruído estridente de feedback acústico. Se o microfone capta um som suficientemente alto, o som amplificado vindo das colunas irá entrar de novo no microfone num ciclo infinito, com um som cada vez mais elevado. Por outro lado, se o som é baixo irá apenas desaparecendo, até deixar de ser ouvido. Para construir um modelo para este processo de feedback poderíamos escolher um número inicial, multiplicá-lo por si mesmo, multiplicar o resultado por si mesmo, e assim sucessivamente, Iríamos descobrir que os grandes números conduzem rapidamente ao infinito:10,100,10000… Mas os números pequenos levam a zero: .
Junho 6, 2008 at 11:40 pm
Fafe
Não vale deixar o desafio que pode ser lido por todos, até por alunos no princípio da Álgebra, ou por quem já a tenha esquecido, sem salientar o vício de raciocínio nele contido.
Junho 6, 2008 at 11:49 pm
Caro Paulo,
A única coisa que eu sei é que estamos todos muito formatados no eduquês. Se os alunos não sabem, não sabem, ponto. E deviam saber. Para que considerou o saudosismo e outros factores psicológicos? Deixe lá isso para a psicopedagogia.
Junho 6, 2008 at 11:59 pm
O movimento perpétuo de primeira espécie ainda está por inventar, assim como a quadratura do círculo. Fazem-nos crer que sim, que tudo está resolvido. Resolvidos estão os paradoxos de Zenão. Os impostos e os lucros vão acabar de vez com a matemática e respectiva filosofia.
Junho 7, 2008 at 12:10 am
Pois…
Para mim a questão não é assim tão idiota. Desculpem lá. Um dos objectivos da matemática escolar é permitir resolver problemas. Problemas da vida real. De que serve saber a taboada e os algoritmos se não se consegue, depois, aplicá-los nas questões concretas?
Esta questão, de simples resolução, dá-nos pistas relevantes sobre a verdadeira aquisição de competências. Todos os alunos de 6º ano sabem quanto é 8:2 e 3×4. Então porque não resolvem a questão?
Porque não compreendem as operações e não sabem resolver problemas.
A questão não é se aprenderam de uma forma mais tradicional ou mais modernaça.
A questão é que aquilo que aprenderam, trabalharam, treinaram, não lhes serve, afinal, para nada.
Junho 7, 2008 at 12:13 am
João Serra:
Peço desculpa, a quadratura do cículo está tão resolvida como os paradoxos de Zenão ou, pelo menos, o paradoxo do “homem e a tartaruga”.
Junho 7, 2008 at 12:21 am
A quadratura do circulo não está resolvida. A Mazda quase que resolveu a questão com o motor de explosão contínua, evitando cambotas. O problema está por resolver.
Junho 7, 2008 at 12:24 am
Como prof. do 1.CEB. posso afirmar que
1. A questão colocada no post é resolvida por alunos médios do 2.ºA, utilizando palavras ou desenhos. Num 3.º Ano, já se exige a sua resolução através de cálculos matemáticos.
2. Esta palhaçada começou toda com as provas de aferição. Os modernos pedagogos querem embrutecer os alunos, como se o racíocinio matemático e o cálculo mental e escrito não fosse o mais importante.
3. Questões destas no 2.º CEB seria uma vergonha, não fosse o facto de alguns alunos transitarem de ciclo sem terem feito as aquisições básicas no ciclo anterior.
Mas enfim, com os chumbos são retrógrados, há que fazer provas de aferição para as estatísticas.
Desiludem-se alunos que vêem menosprezados os seus conhecimentos e saberes e desmotivam-se profs face a este brincar à verdadeira aprendizagem.
3.
5.
Junho 7, 2008 at 12:31 am
João Serra (23)
PI vezes o quadrado do raio. Maravilhas do cálculo integral
Junho 7, 2008 at 12:50 am
Fui apanhado pelo spam, Paulo.
Paciência
Junho 7, 2008 at 12:55 am
James (12): “O que referi em (11), creio que vem no seguimento do que Américo Tavares referiu em (6).”
Exacto
Junho 7, 2008 at 1:02 am
Na quadratura do círculo apenas se podem utilizar régua (não graduada) e compasso, uma questão de geometria pura, sem números irracionais tais como PI e sem sistemas de unidades de medida.
Junho 7, 2008 at 1:08 am
João SSerra (23)
Muito antes da Mazda. Motor rotativo, também conhecido por Motor Wankel e remonta a 1955
Junho 7, 2008 at 2:06 am
PAM…PAMM…pummmmmmmmmmmmmm
Junho 7, 2008 at 7:53 pm
… (23) e (29)… que tem isso a ver com a quadratura do círculo ?
… sobre o movimento perpétuo não deixa de ser curioso a onda “das novas superstições” que circulam pelos mail, vinda de gente com “obrigações” de carácter científico… há tempos andava por aí uma moto com essa capacidade de andar sem “alimentação” … tudo bem explicado… até diziam que eram os interesses das petrolíferas que travava a sua comercialização… um dia destes dizem que há CD de música em que o artista sai do aparelho e vem beber um copo connosco…. isto para quem comprar pelo menos um pacote de dois… e penso que há crentes para tudo, porque há ignorância que basta…